Bài 1 trang 104 SGK Hình học 11
Cho hai đường thẳng phân biệt (a,b) và mặt phẳng ((alpha)). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a) Nếu (a//(alpha)) và (bbot (alpha)) thì (abot b)
b) Nếu (a//(alpha)) và (bbot a) thì (bbot (alpha))
c) Nếu (a//(alpha)) và (b// (alpha)) thì (b//a)
d) Nếu (abot (alpha)) và (bbot a) thì (b// (alpha))
Giải
a) Đúng
b) Sai
c) Sai
d) Sai.
Bài 2 trang 104 SGK Hình học 11
Cho tứ diện (ABCD) có hai mặt (ABC) và (BCD) là hai tam giác cân có chung cạnh đáy (BC).Gọi (I) là trung điểm của cạnh (BC).
a) Chứng minh rằng (BC) vuông góc với mặt phẳng (ADI).
b) Gọi (AH) là đường cao của tam giác (ADI), chứng minh rằng (AH) vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Giải
a) Tam giác (ABC) cân tại (A) nên ta có đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao do đó: (AIbot BC)
Tương tự ta có: (DIbot BC)
Ta có:
$$left. matrix{AI bot BC hfill cr DI bot BC hfill cr AI cap DI = {rm{{ }}I{rm{} }} hfill cr} right} Rightarrow BC bot (ADI)$$
b) Ta có (AH) là đường cao của tam giác (ADI) nên (AHbot DI)
Mặt khác: (BCbot (ADI)) mà (AHsubset (ADI)) nên (AHbot BC)
Ta có
$$left. matrix{AH bot BC hfill cr AH bot DI hfill cr BC cap DI = {rm{{ }}I{rm{} }} hfill cr} right} Rightarrow AH bot (BCD)$$
Bài 3 trang 104 SGK Hình học 11
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy là hình thoi (ABCD) và có (SA=SB=SC=SD).Gọi (O) là giao điểm của (AC) và (BD). Chứng minh rằng:
a) Đường thẳng (SO) vuông góc với mặt phẳng ((ABCD));
b) Đường thẳng ( AC) vuông góc với mặt phẳng ((SBD)) và đường thẳng (BD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Giải
a) Theo giả thiết (SA=SC) nên tam giác (SAC) cân tại (S)
(O) là giao của hai đường chéo hình bình hành nên (O) là trung điểm của (AC) và (BD).
Do đó (SO) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác (SAC) hay (SObot AC) (1)
Chứng minh tương tự ta được: (SObot BD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (SObot (ABCD)).
b) (ABCD) là hình thoi nên (ACbot BD) (3)
Từ (1) và (3) suy ra (ACbot (SBD))
Từ (2) và (3) suy ra (BDbot (SAC))
Bài 4 trang 105 sgk hình học 11
Cho tứ diện (OABC) có ba cạnh (OA, OB, OC) đôi một vuông góc. Gọi (H) là chân đường vuông góc hạ từ (O) tới mặt phẳng ((ABC)). Chứng minh rằng:
a) H là trực tâm của tam giác (ABC);
b) (frac{1}{OH^{2}}=frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}}+frac{1}{OC^{2}}.)
Hướng dẫn.
(h.3.32)
a) (H) là hình chiếu của (O) trên mp ((ABC)) nên (OH ⊥ (ABC) Rightarrow OH ⊥ BC). (1)
Mặt khác: (OA ⊥ OB), (OA ⊥ OC)
(Rightarrow OA ⊥ (OBC) Rightarrow OA ⊥ BC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (BC ⊥ (AOH) Rightarrow BC ⊥ AH). Chứng minh tương tự ta được (AB ⊥ CH )
(Rightarrow H) là trực tâm của tam giác (ABC).
b) Trong mặt phẳng ((ABC)) gọi (E = AH ∩ BC), (OH ⊥ (ABC)), (AE ⊂ (ABC) Rightarrow OH ⊥ AE) tại (H);
(OA ⊥ (ABC), OE ⊂ (ABC) Rightarrow OA ⊥ OE) tức là (OH) là đường cao của tam giác vuông (OAE).
Mặt khác (OE) là đường cao của tam giác vuông (OBC)
Do đó: (frac{1}{OH^{2}}=frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OE^{2}} =frac{1}{OA^{2}}+frac{1}{OB^{2}}+frac{1}{OC^{2}}.)
Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông: (frac{1}{h^{2}}=frac{1}{b^{2}}+frac{1}{c^{2}} .)
Giaibaitap.me
