1. Định nghĩa
Cho hai vectơ $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ đều khác vectơ $overrightarrow 0 $. Tích vô hướng của $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ là một số, kí hiệu là $overrightarrow a $.$overrightarrow b $, được xác định bởi công thức sau:
$overrightarrow a .overrightarrow b = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right)$
Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ bằng vectơ $overrightarrow 0 $ ta quy ước $overrightarrow a $.$overrightarrow b $= 0.
Chú ý
Với $overrightarrow a $ và $overrightarrow b $ khác vectơ $overrightarrow 0 $ ta có $overrightarrow a .overrightarrow b = 0 Leftrightarrow overrightarrow a bot overrightarrow b $.
Khi $overrightarrow a $ = $overrightarrow b $ tích vô hướng $overrightarrow a $.$overrightarrow a $ được kí hiệu là ${overrightarrow a ^2}$ và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $overrightarrow a $.
Ta có ${overrightarrow a ^2} = left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow a } right|cos {0^0} = {left| {overrightarrow a } right|^2}$.
2. Các tính chất của tích vô hướng
Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:
Với ba vectơ $overrightarrow a $, $overrightarrow b $, $overrightarrow c $ bất kì và mọi số k ta có:
$overrightarrow a $.$overrightarrow b $ = $overrightarrow b $.$overrightarrow a $ (tính chất giao hoán);
$overrightarrow a .left( {overrightarrow b + overrightarrow c } right) = overrightarrow a .overrightarrow b + overrightarrow a .overrightarrow c $ (tính chất phân phối) ;
$begin{gathered} left( {koverrightarrow a } right)overrightarrow b = kleft( {overrightarrow a .overrightarrow b } right) = overrightarrow a left( {koverrightarrow b } right) hfill \ {overrightarrow a ^2} geqslant 0,{overrightarrow a ^2} = 0 Leftrightarrow overrightarrow a = overrightarrow 0 hfill \ end{gathered} $
Nhận xét
Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
$begin{gathered} {left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)^2} = {overrightarrow a ^2} + 2overrightarrow a .overrightarrow b + {overrightarrow b ^2}; hfill \ {left( {overrightarrow a – overrightarrow b } right)^2} = {overrightarrow a ^2} – 2overrightarrow a .overrightarrow b + {overrightarrow b ^2}; hfill \ left( {overrightarrow a + overrightarrow b } right)left( {overrightarrow a – overrightarrow b } right) = {overrightarrow a ^2} – {overrightarrow b ^2}. hfill \ end{gathered} $
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
Trên mặt phẳng toạ độ $left( {O;overrightarrow i ;overrightarrow j } right)$, cho hai vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right);overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2}} right)$. Khi đó tích vô hướng $overrightarrow a $.$overrightarrow b $ là:
$overrightarrow a .overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$
Nhận xét
Hai vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right);overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2}} right)$ đều khác vectơ $overrightarrow 0 $ vuông góc với nhau khi và chỉ khi:
${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$.
4. Ứng dụng
a) Độ dài của vectơ
Độ dài của vectơ $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right)$ được tính theo công thức:
$left| {overrightarrow a } right| = sqrt {a_1^2 + a_2^2} $.
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu $overrightarrow a = left( {{a_1};{a_2}} right);overrightarrow b = left( {{b_1};{b_2}} right)$ đều khác $overrightarrow 0 $ thì ta có:
$cos left( {overrightarrow a ,overrightarrow b } right) = frac{{overrightarrow a .overrightarrow b }}{{left| {overrightarrow a } right|.left| {overrightarrow b } right|}} = frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{sqrt {a_1^2 + a_2^2} sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$.
c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm $Aleft( {{x_A};{y_A}} right)$ và $Bleft( {{x_B};{y_B}} right)$ được tính theo công thức sau:
$AB = sqrt {{{left( {{x_B} – {x_A}} right)}^2} + {{left( {{y_B} – {y_A}} right)}^2}} $.
