Bài 1 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm số gia của hàm số (f(x) = x^3), biết rằng :
a) (x_0 = 1; ∆x = 1)
b) (x_0= 1; ∆x = -0,1)
Lời Giải:
a) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(2) – f(1) = 2^3-1^3= 7).
b) (∆y = f(x_0+∆x) – f(x_0) = f(0,9) – f(1)) = ( left ( frac{9}{10} right )^{3} – 1^3=) ( frac{729}{1000} – 1 = -0,271).
Bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11
Tính (∆y) và ({{Delta y} over {Delta x}}) của các hàm số sau theo (x) và (∆x) :
a) (y = 2x – 5); b) (y = x^2- 1);
c) (y = 2x^3); d) (y = {1 over x}).
Trả lời:
a) (∆y = f(x+∆x) – f(x) = 2(x+∆x) – 5 – (2x – 5) = 2∆x) và ({{Delta y} over {Delta x}} = {{2Delta x} over {Delta x}} = 2).
b) (Delta y = f(Delta x + x) – f(x) = {(x + Delta x)^2} – 1 – ({x^2} – 1))
(= 2x.Delta x + {(Delta x)^2} = Delta x(2x + Delta x)) và ({{Delta y} over {Delta x}} = {{Delta xleft( {2{rm{x}} + Delta x} right)} over {Delta x}} = 2{rm{x + }}Delta {rm{x}})
c) (∆y = f(x+∆x) – f(x) = 2(x + ∆x)^3- 2x^3)= (6{x^2}Delta x + 6x{(Delta x)^2} + 2{(Delta x)^3} = 2Delta x.(3{x^2} + 3xDelta x + {(Delta x)^2})) và ({{Delta y} over {Delta x}} = {{2Delta xleft[ {3{{rm{x}}^2} – 3{rm{x}}Delta x + Delta {x^2}} right]} over {Delta x}}) (= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2).
d) (∆y = f(x+∆x) – f(x) =)(-{1 over x} + {1 over {x +Delta x}} = {{x – Delta x – x} over {xleft( {x + Delta x} right)}} = – {{Delta x} over {xleft( {x + Delta x} right)}})
({{Delta y} over {Delta x}} = {1 over {left( {x + Delta x} right)x}})
Bài 3 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a) (y = x^2+ x) tại (x_0= 1);
b) (y = frac{1}{x}) tại (x_0= 2);
c) (y = frac{x+1}{x-1}) tại (x_0 = 0).
Giải:
a) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0 = 1). Ta có:
(∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) – (1^2+ 1))
(= 3∆x + (∆x)^2)
( frac{Delta y}{Delta x} = 3 + ∆x); (mathop {lim }limits_{Delta x to 0} {{Delta y} over {Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} (3 + Delta x) = 3)
Vậy (f'(1) = 3).
b) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 2). Ta có:
(∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = frac{1}{2+Delta x} – frac{1}{2} = – frac{Delta x}{2left ( 2+Delta x right )});
( frac{Delta y}{Delta x}) = – ( frac{1}{2left ( 2+Delta x right )}); (mathop {lim }limits_{Delta x to 0} {{Delta y} over {Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} left( { – {1 over {2.(2 + Delta x)}}} right) = – {1 over 4})
Vậy (f'(2) = – frac{1}{4}).
c) Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 0).Ta có:
(∆y = f(∆x) – f(0) = frac{Delta x+1}{Delta x-1}- ( -1) = frac{2Delta x}{Delta x-1});
( frac{Delta y}{Delta x}) = ( frac{2}{Delta x-1}) ; ( mathop {lim}limits_{Delta xrightarrow 0}) ( frac{Delta y}{Delta x}) = ( mathop {lim}limits_{Delta xrightarrow 0}) ( frac{2}{Delta x-1} = -2).
Vậy (f'(0) = -2).
Bài 4 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng hàm số
(f(x) = left{ matrix{ {(x – 1)^2}text{ nếu }x ge 0 hfill cr – {x^2}text { nếu } x < 0 hfill cr} right.)
không có đạo hàm tại điểm (x = 0) nhưng có đạo hàm tại điểm (x = 2).
Giải:
Ta có ( mathop{lim}limits_{xrightarrow 0^{+}} f(x) = )( mathop{lim}limits_{xrightarrow 0^{+}} (x – 1)^2= 1) và ( mathop{lim}limits_{xrightarrow 0^{-}} f(x) = )(mathop{ lim}limits_{xrightarrow 0^{-}} (-x^2) = 0).
vì (mathop{ lim}limits_{xrightarrow 0^{+}}f(x) ≠ )( mathop{lim}limits_{xrightarrow 0^{-}}) nên hàm số (y = f(x)) gián đoạn tại (x = 0), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm (x = 0).
Ta có (mathop{ lim}limits_{Delta xrightarrow 0}) ( frac{fleft ( 2+Delta x right )-fleft ( 2 right )}{Delta x}) = ( mathop{lim}limits_{Delta xrightarrow 0}) ( frac{left ( 1+Delta x right )^{2}-1^{2}}{Delta x}) = ( mathop{lim}limits_{Delta xrightarrow 0} (2 + ∆x) = 2).
Vậy hàm số (y = f(x)) có đạo hàm tại (x = 2) và (f'(2) = 2).
Giaibaitap.me
