Bài làm:
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho vectơ (v = ( -1;2)), hai điểm (A(3;5)), (B( -1; 1)) và đường thẳng (d) có phương trình (x-2y+3=0).
LG a
Tìm tọa độ của các điểm (A’, B’) theo thứ tự là ảnh của (A, B) qua phép tịnh tiến theo (overrightarrow{v})
Phương pháp giải:
Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vector (overrightarrow v left( {a;b} right)) biến điểm (M(x;y)) thành điểm (M'(x’;y’)). Khi đó (overrightarrow {MM’} = overrightarrow v Leftrightarrow left{ matrix{x’ – x = a hfill cr y’ – y = b hfill cr} right. ) (Leftrightarrow left{ matrix{x’ = x + a hfill cr y’ = y + b hfill cr} right.)
Lời giải chi tiết:
Giả sử (A’=(x’; y’)). Khi đó
(T_{vec{v}} (A) = A’)
( Leftrightarrow overrightarrow {AA’} = overrightarrow v Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x’ – 3 = – 1\y’ – 5 = 2end{array} right.)
⇔ (left{begin{matrix} {x}’= 3 – 1 = 2\ {y}’= 5 + 2 = 7 end{matrix}right.) (Rightarrow A’ = (2;7))
({T_{overrightarrow v }}left( B right) = B’ ) (Leftrightarrow overrightarrow {BB’} = overrightarrow v ) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x’ – left( { – 1} right) = – 1\y’ – 1 = 2end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x’ = – 1 – 1\y’ = 1 + 2end{array} right.) ( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x’ = – 2\y’ = 3end{array} right.) ( Rightarrow B’left( { – 2;3} right))
LG b
Tìm tọa độ của điểm (C) sao cho (A) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo (overrightarrow{v})
Lời giải chi tiết:
Ta có:
({T_{overrightarrow v }}left( C right) = A) ( Leftrightarrow overrightarrow {CA} = overrightarrow v ) (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x_A} – {x_C} = – 1\{y_A} – {y_C} = 2end{array} right. ) (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x_C} = {x_A} + 1\{y_C} = {y_A} – 2end{array} right. ) (Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x_C} = 3 + 1 = 4\{y_C} = 5 – 2 = 3end{array} right. ) (Rightarrow Cleft( {4;3} right))
Cách khác
Ta có (A = T_{vec{v}} (C)) ⇔ (C= T_{-vec{v}} (A) ) (với ( – overrightarrow v = left( {1; – 2} right)))
( Rightarrow left{ matrix{x’ = 3 + 1 = 4 hfill cr y’ = 5 – 2 = 3 hfill cr} right. Rightarrow Cleft( {4;3} right))
LG c
Tìm phương trình của đường thẳng (d’) là ảnh của (d) qua phép tịnh tiến theo (overrightarrow{v})
Phương pháp giải:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
Gọi (M(x;y)) bất kì thuộc (d), (M’ = T_{vec{v}}(M) =(x’; y’)) nên (M’) thuộc (d’.)
Khi đó
(M’ = T_{vec{v}}(M)) (⇔ left{ matrix{x’ = x – 1 hfill cr y’ = y + 2 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{x = x’ + 1 hfill cr y = y’ – 2 hfill cr} right.)
Ta có (M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0)( ⇔ (x’+1) – 2(y’-2)+3=0 ) (⇔ x’ -2y’ +8=0 )
(⇔ M’ ∈ d’) có phương trình (x-2y+8=0).
Vậy (T_{vec{v}}(d) = d’:,, x-2y+8=0)
Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến
Gọi (T_{vec{v}}(d) =d’).
Khi đó (d’) song song hoặc trùng với (d) nên phương trình của nó có dạng (x-2y+C=0).
Lấy một điểm thuộc (d) chẳng hạn (B(-1;1)), khi đó gọi (B’ = {T_{overrightarrow v }}left( B right) Rightarrow left{ matrix{x’ = – 1 – 1 = – 2 hfill cr y’ = 1 + 2 = 3 hfill cr} right. ) (Rightarrow B’left( { – 2;3} right) in d’)
( Rightarrow – 2 – 2.3 + C = 0 Leftrightarrow C = 8)
Vậy phương trình đường thẳng (left( {d’} right):,,x – 2y + 8 = 0).
Xemloigiai.com
