Giải các phương trình sau:
LG a
(cosx – sqrt3sinx = sqrt2);
Phương pháp giải:
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: (asin x + bcos x = c,,left( {{a^2} + {b^2} > 0} right))
– Chia cả hai vế cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), khi đó phương trình có dạng:
(frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
– Đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xcos alpha + cos xsin alpha = sin left( {x + alpha } right)) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.
Hoặc đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xsin alpha + cos xcos alpha = cos left( {x – alpha } right)) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Lời giải chi tiết:
(eqalign{ & ,,cos x – sqrt 3 sin x = sqrt 2 cr & Leftrightarrow {1 over 2}cos x – {{sqrt 3 } over 2}sin x = {{sqrt 2 } over 2} cr & Leftrightarrow cos xcos {pi over 3} – sin xsin {pi over 3} = {{sqrt 2 } over 2} cr & Leftrightarrow cos left( {x + {pi over 3}} right) = cos {pi over 4} cr & Leftrightarrow left[ matrix{ x + {pi over 3} = {pi over 4} + k2pi hfill cr x + {pi over 3} = – {pi over 4} + k2pi hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left[ matrix{ x = – {pi over {12}} + k2pi hfill cr x = – {{7pi } over {12}} + k2pi hfill cr} right.,,left( {k in Z} right) cr} )
Vậy nghiệm của phương trình là (x = – {pi over {12}} + k2pi ) hoặc (x = – {{7pi } over {12}} + k2pi ,,left( {k in Z} right)).
LG b
(3sin3x – 4cos3x = 5);
Phương pháp giải:
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: (asin x + bcos x = c,,left( {{a^2} + {b^2} > 0} right))
– Chia cả hai vế cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), khi đó phương trình có dạng:
(frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
– Đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xcos alpha + cos xsin alpha = sin left( {x + alpha } right)) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.
Hoặc đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xsin alpha + cos xcos alpha = cos left( {x – alpha } right)) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Lời giải chi tiết:
(eqalign{ & ,,3sin 3x – 4cos 3x = 5 cr & Leftrightarrow {3 over 5}sin 3x – {4 over 5}cos 3x = 1 cr} )
Đặt (left{ matrix{ sin alpha = {3 over 5} hfill cr cos alpha = {4 over 5} hfill cr} right.), phương trình trở thành
(eqalign{ & ,,,,,sin 3xsin alpha – cos 3xcos alpha = 1 cr & Leftrightarrow cos left( {3x + alpha } right) = – 1 cr & Leftrightarrow 3x + alpha = pi + k2pi cr & Leftrightarrow 3x = pi – alpha + k2pi cr & Leftrightarrow x = {{pi – alpha } over 3} + {{k2pi } over 3},,left( {k in Z} right) cr} )
Vậy nghiệm của phương trình là (x = {{pi – alpha } over 3} + {{k2pi } over 3},,left( {k in Z} right)) (Với (sin alpha = {3 over 5};,,cos alpha = {4 over 5})).
LG c
(2sinx + 2cosx – sqrt2 = 0);
Phương pháp giải:
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: (asin x + bcos x = c,,left( {{a^2} + {b^2} > 0} right))
– Chia cả hai vế cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), khi đó phương trình có dạng:
(frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
– Đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xcos alpha + cos xsin alpha = sin left( {x + alpha } right)) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.
Hoặc đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xsin alpha + cos xcos alpha = cos left( {x – alpha } right)) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Lời giải chi tiết:
(eqalign{ & ,,2sin x + 2cos x – sqrt 2 = 0 cr & Leftrightarrow {1 over {sqrt 2 }}sin x + {1 over {sqrt 2 }}cos x = {1 over 2} cr & Leftrightarrow sin xsin {pi over 4} + cos xcos {pi over 4} = {1 over 2} cr & Leftrightarrow cos left( {x – {pi over 4}} right) = cos {pi over 3} cr & Leftrightarrow left[ matrix{ x – {pi over 4} = {pi over 3} + k2pi hfill cr x – {pi over 4} = – {pi over 3} + k2pi hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left[ matrix{ x = {{7pi } over {12}} + k2pi hfill cr x = – {pi over {12}} + k2pi hfill cr} right.,,,left( {k in Z} right) cr} )
Vậy nghiệm của phương trình là (x = {{7pi } over {12}} + k2pi ) hoặc (x = – {pi over {12}} + k2pi ,,left( {k in Z} right).)
LG d
(5cos2x + 12sin2x -13 = 0).
Phương pháp giải:
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sin và cos: (asin x + bcos x = c,,left( {{a^2} + {b^2} > 0} right))
– Chia cả hai vế cho (sqrt {{a^2} + {b^2}} ), khi đó phương trình có dạng:
(frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})
– Đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xcos alpha + cos xsin alpha = sin left( {x + alpha } right)) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản của sin.
Hoặc đặt (left{ begin{array}{l}frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha \frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha end{array} right.) và sử dụng công thức (sin xsin alpha + cos xcos alpha = cos left( {x – alpha } right)) và giải phương trình lượng giác cơ bản của cos.
Lời giải chi tiết:
(eqalign{ & ,,5cos 2x + 12sin 2x – 13 = 0 cr & Leftrightarrow {5 over {13}}cos 2x + {{12} over {13}}sin 2x = 1 cr} )
Đặt (left{ matrix{ {5 over {13}} = cos alpha hfill cr {{12} over {13}} = sin alpha hfill cr} right.) , khi đó phương trình trở thành
(eqalign{ & ,,,cos 2xcos alpha + sin 2xsin alpha = 1 cr & Leftrightarrow cos left( {2x – alpha } right) = 1 cr & Leftrightarrow 2x – alpha = k2pi cr & Leftrightarrow x = {alpha over 2} + kpi ,,,left( {k in Z} right) cr} )
Vậy nghiệm của phương trình là (x = {alpha over 2} + kpi ,,,left( {k in Z} right)) với (sin alpha = {{12} over {13}};,,cos alpha = {5 over {13}}).
