Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
LG a
(y = x^2+ x) tại (x_0= 1)
Phương pháp giải:
Bước 1: Giả sử (Delta x) là số gia của đối số tại (x_0), tính (Delta y = fleft( {{x_0} + Delta x} right) – fleft( {{x_0}} right)).
Bước 2: Lập tỉ số (dfrac{{Delta y}}{{Delta x}}).
Bước 3: Tìm (mathop {lim }limits_{Delta x to 0} dfrac{{Delta y}}{{Delta x}}).
Kết luận (f’left( {{x_0}} right) = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} dfrac{{Delta y}}{{Delta x}}).
Lời giải chi tiết:
Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0 = 1). Ta có:
(begin{array}{l}Delta y = fleft( {1 + Delta x} right) – fleft( 1 right)\,,,,,, = {left( {1 + Delta x} right)^2} + left( {1 + Delta x} right) – {1^2} – 1\,,,,, = 1 + 2Delta x + {left( {Delta x} right)^2} + 1 + Delta x – 2\,,,,, = Delta xleft( {Delta x + 3} right)\Rightarrow dfrac{{Delta y}}{{Delta x}} = Delta x + 3\Rightarrow mathop {lim }limits_{Delta x to 0} dfrac{{Delta y}}{{Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} left( {Delta x + 3} right) = 3end{array})
Vậy (f'(1) = 3).
Cách khác:
(begin{array}{l}fleft( x right) = {x^2} + x Rightarrow fleft( 1 right) = 2\Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 1} dfrac{{fleft( x right) – fleft( 1 right)}}{{x – 1}}\= mathop {lim }limits_{x to 1} dfrac{{{x^2} + x – 2}}{{x – 1}}\= mathop {lim }limits_{x to 1} dfrac{{left( {x – 1} right)left( {x + 2} right)}}{{x – 1}}\= mathop {lim }limits_{x to 1} left( {x + 2} right)\= 1 + 2\= 3\Rightarrow f’left( 1 right) = 3end{array})
LG b
(y = dfrac{1}{x}) tại (x_0= 2)
Lời giải chi tiết:
Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 2). Ta có:
(begin{array}{l}Delta y = fleft( {2 + Delta x} right) – fleft( 2 right)\,,,,,,, = dfrac{1}{{2 + Delta x}} – dfrac{1}{2}\,,,,,,, = dfrac{{2 – 2 – Delta x}}{{2left( {2 + Delta x} right)}} = dfrac{{ – Delta x}}{{2left( {2 + Delta x} right)}}\Rightarrow dfrac{{Delta y}}{{Delta x}} = dfrac{{ – 1}}{{2left( {2 + Delta x} right)}}\Rightarrow mathop {lim }limits_{Delta x to 0} dfrac{{Delta y}}{{Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} left( {dfrac{{ – 1}}{{2left( {2 + Delta x} right)}}} right) = dfrac{{ – 1}}{{2.2}} = – dfrac{1}{4}end{array})
Vậy (f'(2) = – dfrac{1}{4}).
Cách khác:
(begin{array}{l}fleft( x right) = dfrac{1}{x} Rightarrow fleft( 2 right) = dfrac{1}{2}\ Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{{fleft( x right) – fleft( 2 right)}}{{x – 2}}\ = mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{{dfrac{1}{x} – dfrac{1}{2}}}{{x – 2}}\ = mathop {lim }limits_{x to 2} dfrac{{dfrac{{2 – x}}{{2x}}}}{{ – left( {2 – x} right)}}\ = mathop {lim }limits_{x to 2} left( { – dfrac{1}{{2x}}} right)\ = – dfrac{1}{{2.2}} = – dfrac{1}{4}\ Rightarrow f’left( 2 right) = – dfrac{1}{4}end{array})
LG c
(y = dfrac{x+1}{x-1}) tại (x_0 = 0)
Lời giải chi tiết:
Giả sử (∆x) là số gia của số đối tại (x_0= 0).Ta có:
(begin{array}{l}Delta y = fleft( {Delta x} right) – fleft( 0 right)\,,,,,,, = dfrac{{Delta x + 1}}{{Delta x – 1}} – dfrac{{0 + 1}}{{0 – 1}}\,,,,,,, = dfrac{{Delta x + 1}}{{Delta x – 1}} + 1\,,,,,,, = dfrac{{Delta x + 1 + Delta x – 1}}{{Delta x – 1}} = dfrac{{2Delta x}}{{Delta x – 1}}\Rightarrow dfrac{{Delta y}}{{Delta x}} = dfrac{2}{{Delta x – 1}}\Rightarrow mathop {lim }limits_{Delta x to 0} dfrac{{Delta y}}{{Delta x}} = mathop {lim }limits_{Delta x to 0} left( {dfrac{2}{{Delta x – 1}}} right) = dfrac{2}{{ – 1}} = – 2end{array})
Vậy (f'(0) = -2).
Cách khác:
(begin{array}{l}fleft( x right) = dfrac{{x + 1}}{{x – 1}} Rightarrow fleft( 0 right) = – 1\ Rightarrow mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{fleft( x right) – fleft( 0 right)}}{{x – 0}}\ = mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{dfrac{{x + 1}}{{x – 1}} + 1}}{x}\ = mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{dfrac{{x + 1 + x – 1}}{{x – 1}}}}{x}\ = mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{{dfrac{{2x}}{{x – 1}}}}{x}\ = mathop {lim }limits_{x to 0} dfrac{2}{{x – 1}}\ = dfrac{2}{{0 – 1}} = – 2\ Rightarrow f’left( 0 right) = – 2end{array})
